Question

已知函數，
（Ⅰ）設a＞0，若函數在區間上存在極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f（x）=，
則f′（x）=，x＞0，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
所以函數f（x）在x=1處取得極大值，
因為函數f（x）在區間（其中a＞0）上存在極值，
所以，解得；
（Ⅱ）不等式，即為，
記，
所以g′（x），
令h（x）=x-lnx，則h′（x）=，
∵x≥1，
∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，
所以g（x）_min=g（1）=2，
所以k²-k≤2，解得-1≤k≤2。