Question

已知圓C經過點A（1，3）、B（2，2），并且直線m：3x-2y=0平分圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點D（0，1），且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M、N．
（Ⅰ）求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）（文科不做）若

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）設圓C的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．由圓C被直線平分可得3a-2b=0，結合點A、B在圓上建立關于a、b、r的方程組，解出a、b、r的值即可得到圓C的方程；
（2）（I）由題意，得直線l方程為kx-y+1=0，根據直線l與圓C有兩個不同的交點，利用點到直線的距離建立關于k的不等式，解之即可得到實數k的取值范圍；
（II）直線l方程與圓C方程聯解消去y，得（1+k²）x²-（4+4k）x+7=0．設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用根與系數的關系、直線l方程和向量數量積的坐標運算公式，化簡

OM

•

ON

=12得到關于k的方程，解之即可得到k的值．

解答：解：（1）設圓C的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
∵圓C被直線m：3x-2y=0平分，∴圓心C（a，b）在直線m上，可得3a-2b=0…①，
又∵點A（1，3）、B（2，2）在圓上，∴

(1-a)2+(3-b)2=r2 (2-a)2+(2-b)2=r2

…②，
將①②聯解，得a=2，b=3，r=1．
∴圓C的方程是（x-2）²+（y-3）²=1；
（2）過點D（0，1）且斜率為k的直線l方程為y=kx+1，即kx-y+1=0，
（I）∵直線l與圓C有兩個不同的交點M、N，
∴點C（2，3）到直線l的距離小于半徑r，
即

|2k-3+1|

k2+1

＜1，解之得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
（II）由

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

消去y，得（1+k²）x²-（4+4k）x+7=0．
設直線l與圓C有兩個不同的交點坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=

4+4k

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

7k2

1+k2

+

4k+4k2

1+k2

+1，
∵

OM

•

ON

=

7

1+k2

+（

7k2

1+k2

+

4k+4k2

1+k2

+1）=12，解之得k=1．

點評：本題著重考查了圓的標準方程、直線的方程、直線與圓的位置關系、向量的坐標運算公式和一元二次方程根與系數的關系等知識，屬于中檔題．