Question

已知雙曲線E的中心為原點，P（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程式為

x2

4

-

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：利用點差法求出直線AB的斜率，再根據P（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．

解答：解：由題意，不妨設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵P（3，0）是E的焦點，∴c=3，∴a²+b²=9．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則有：

x12

a2

-

y12

b2

=1①；

x22

a2

-

y22

b2

=1②
由①-②得：

y1-y2

x1-x2

=

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

∵AB的中點為N（-12，-15），
∴

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

又AB的斜率是

-15-0

-12-3

=1
∴

4b2

5a2

=1，即4b²=5a²
將4b²=5a²代入a²+b²=9，可得a²=4，b²=5
∴雙曲線標準方程是

x2

4

-

y2

5

=1
故答案為：

x2

4

-

y2

5

=1

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查點差法解決弦的中點問題，考查學生的計算能力，解題的關鍵是利用點差法求出直線AB的斜率．