Question

(本題滿分15分) 已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知動直線過點,交拋物線于、兩點.
若直線的斜率為1,求的長;
是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.

Answer 1

解:(1)由題意,可設拋物線方程為.         …………1分
由,得.                               …………2分
拋物線的焦點為,.                             …………3分
拋物線D的方程為.                                …………4分
(2)設,.                                   …………5分
直線的方程為：,              …………6分
聯立,整理得:  …………7分
=.…………9分
(ⅱ) 設存在直線滿足題意,則圓心,過作直線的垂線,垂足為,設直線與圓的一個交點為.可得:          …………10分
                              …………11分
即=
=
==                    …………13分
當時, ,此時直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值.
…………14分
因此存在直線滿足題意                       …………15分

略