Question

已知下列命題命題：①橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，若a，b，c成等比數列，則其離心率e=

5 -1

2

；②雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的離心率e=

2

且兩條漸近線互相垂直；③在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點；④若實數x，y∈[-1，1]，則滿足x²+y²≥1的概率為

π

4

．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據a，b，c成等比數列得出a，b，c的關系，進而可求得c關于a的表達式，進而根據 e=

c

a

求得e．
②由雙曲線的標準方程，則可表示出其漸近線的方程，根據兩條直線垂直，推斷出其斜率之積為-1進而求得a和b的關系，進而根據c=

a2+b2

求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可得．
③找出正方體中的四面體的各種圖形，例如側棱垂直底面直角三角形的四面體即可判斷③的正誤；
④用幾何概型判斷即可．

解答：解：①已知a，b，c成等比數列，∴ac=b²，橢圓的離心率 e=

5 -1

2

，故正確；
②雙曲線x²-y²=a²（a＞0），則雙曲線的漸近線方程為y=±x
∴兩條漸近線互相垂直，
∵a²=b²，
∴c=

a2+b2

=

2

a
∴e=

c

a

=

2

，故正確；
③如四面體B₁ABD；故正確；
④概率應為1-

π

4

，故錯．
故答案是①②③．

點評：本題主要考查了橢圓的基本性質，考查了雙曲線的簡單性質．解答關鍵是學生轉化和化歸思想和對圓錐曲線的基礎知識的把握程度．