Question

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設 (N^*).
①證明： ；
② 求證：.

Answer 1

(Ⅰ) .      (Ⅱ)見解析

本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，
所以利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當時，由得. ……2分
若存在由得，
從而有，與矛盾，所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵∴
∴ 
∴.…………10分
證法二：，下同證法一.          ……10分
證法三：（利用對偶式）設，，
則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即
                   ………10分
證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;
②假設時,命題成立,即,
則當時,

   即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.          ………………10分
②由于，
所以，
從而.
也即