Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）求證：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（2）在AE上求一點M，使得A₁M⊥平面ADE．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，不妨設正方體的棱長為2，設平面AED的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
利用

n1

•

DA

=0，

n1

•

DE

=0，得

n1

=（0，1，-2），同理可得平面A₁FD₁的法向量

n2

=（0，2，1）．
通過

n1

•

n2

=0，證明平面AED⊥平面A₁FD₁．
（2）由于點M在直線AE上，設

AM

=（0，2λ，λ）．

A1M

=（0，2λ，λ-2），利用AD⊥A₁M，

A1M

•

AE

=0，推出5λ-2=0，
解得λ=

2

5

．故當A=

2

5

A時，A₁M⊥平面ADE點M在直線AE上，

解答：證明：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
不妨設正方體的棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
設平面AED的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

n1

•

DA

=（x₁，y₁，z₁）•（2，0，0）=0，

n1

•

DE

=（x₁，y₁，z₁）•（2，2，1）=0，
∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0．
令y₁=1，得

n1

=（0，1，-2），
同理可得平面A₁FD₁的法向量

n2

=（0，2，1）．
∵

n1

•

n2

=0，∴

n1

⊥

n2

，
∴平面AED⊥平面A₁FD₁．
（2）由于點M在直線AE上，
設

AM

=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）．
可得M（2，2λ，λ），∴

A1M

=（0，2λ，λ-2），
∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，
只需A₁M⊥AE，
∴

A1M

•

AE

=（0，2λ，λ-2）•（0，2，1）=5λ-2=0，
解得λ=

2

5

．故當A=

2

5

A時，A₁M⊥平面ADE

點評：本題是中檔題，考查平面與平面的垂直，注意向量的數量積的應用，直線與平面的垂直，考查計算能力，常考題型．