Question

（2012•浙江模擬）已知拋物線x²=4y．
（Ⅰ）過拋物線焦點F，作直線交拋物線于M，N兩點，求|MN|最小值；
（Ⅱ）如圖，P是拋物線上的動點，過P作圓C：x²+（y+1）²=1的切線交直線y=-2于A，B兩點，當PB恰好切拋物線于點P時，求此時△PAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設PF的方程代入x²=4y，利用拋物線的定義，結合基本不等式，即可求得|MN|最小值；
（Ⅱ）求出拋物線在點P處切線方程，從而可求圓心C到該切線距離，由對稱性，不妨設P(2

3

，3)，設切線方程，利用直線與圓相切，可得直線的斜率，進而可求|AB|，由此可求△PAB的面積．

解答：解：（Ⅰ）由題意F（0，1）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），PF的方程為y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0
|MN|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4≥4
故當k=0時，|MN|_min=4                              …（5分）
（Ⅱ）設P(a，

a2

4

)，y=

x2

4

，∴y′=

x

2

∴拋物線在點P處切線：y=

a

2

(x-a)+

a2

4

=

a

2

x-

a2

4

∴圓心C到該切線距離

|1- a2 4 |

a2 4 +1

=1，∴a²=12
由對稱性，不妨設P(2

3

，3)…（9分）
顯然過P作圓C的兩條切線斜率都存在，設y-3=k(x-2

3

)，
∴kx-y+3-2

3

k=0
因為相切，所以

|4-2 3 k|

k2+1

=1
∴11k2-16

3

k+15=0
∴k=

3

或k=

5 3

11

在y-3=k(x-2

3

)中，令y=-2，得x=

-5

k

+2

3

…（13分）
∴|AB|=

-5

3

-

-5

5 3 11

=2

3

∴S△PAB=

1

2

|AB|(yP+2)=5

3

…（15分）

點評：本題考查拋物線中過焦點的弦長計算，考查拋物線的切線，正確運用拋物線的切線是關鍵．