已知函數
（
為自然對數的底數）.
（Ⅰ）求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）若存在
使不等式
成立，求實數
的取值范圍.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）單調遞減區間為
，單調遞增區間為
；
（Ⅲ）
解析試題分析：（Ⅰ）將
代入原函數求
，即得切點坐標，先將原函數求導再將代入導函數求
，根據導數的幾何意義可知即為切線在點處切線的斜率，根據直線方程的點斜式即可求得切線方程。（Ⅱ）先求導數，及其零點，判斷導數符號，即可得原函數增減區間。（Ⅲ）時可將變形為
，若存在使不等式成立，則只需
大于
在
上的最小值即可。即將不等式問題轉化為求函數最值問題
試題解析：解：（Ⅰ）
. 1分
得
， 2分
所以曲線在點處的切線方程為. 3分
（Ⅱ）.
令
，即
，解得
. 5分
時，
，
時，
，
此時的單調遞減區間為，單調遞增區間為. 7分
（Ⅲ）由題意知
使成立，即使
成立；8分
所以
9分
令
，
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
則
， 12分
所以. 13分
考點：1導數、導數的幾何意義；2利用導數研究函數性質.
A加金題 系列答案
全優測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（1）已知函數f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求實數t的取值范圍；
（2）證明：
＜ln
＜
，其中0＜a＜b；
（3）設[x]表示不超過x的最大整數，證明：[ln(1＋n)]≤[1＋
＋ ＋
]≤1＋[lnn]（n∈N*）．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知a，b為常數，a¹0，函數
．
（1）若a=2，b=1，求
在（0，+∞）內的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；
②若
，
，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點
形成的平面區域的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題13分) 已知函數
（
為自然對數的底數）。
(1)若
，求函數
的單調區間；
(2)是否存在實數
，使函數在
上是單調增函數？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由。恒成立，則
，又
，
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．
在
上為增函數，求實數
的取值范圍；
且
時，證明： 
.
，且
是函數
的一個極小值點.
的值；
上的最大值和最小值.
.
時,求函數
的單調區間;
,且
,求證:
;
,對于任意
時,總存在
,使
成立,求實數
的取值范圍.
.
時，求函數
的單調區間；
上為減函數，求實數
的取值范圍；
時，不等式
恒成立，求實數