Question

（本小題14分）．已知直線Ｌ被兩平行直線：與：所截線段ＡＢ的中點(diǎn)恰在直線上，已知圓．

（Ⅰ）求兩平行直線與的距離；

（Ⅱ）證明直線Ｌ與圓Ｃ恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

（Ⅲ）求直線Ｌ被圓Ｃ截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程．

Answer 1

（Ⅰ）解：兩平行直線與的距離………3分

（Ⅱ）證明（法一）：設(shè)線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，b），由P到L₁，_、L₂的距離相等，得

，

經(jīng)整理得，，又點(diǎn)P在直線ｘ－4ｙ－１＝０上，所以

解方程組得  即點(diǎn)P的坐標(biāo)（－3，－1），………7分

所以直線L恒過點(diǎn)P（－３，－１）；……………  8分

將點(diǎn)P（－3，－1）代入圓，可得

所以點(diǎn)P（－3，－1）在圓內(nèi)，從而過點(diǎn)P的直線Ｌ與圓Ｃ恒有兩個(gè)交點(diǎn)．………10分

（Ⅲ）解：當(dāng)PC與直線Ｌ垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，，所以直線Ｌ的斜率為，所以直線Ｌ的方程為：．……………………………14分

（Ⅱ）法二：設(shè)線段ＡＢ的中點(diǎn)P必經(jīng)過直線：，由已知，得

，

所以，所以，得點(diǎn)P（－3，－1），以下同法一