Question

已知a>0，函數f(x)＝ax²－ln x.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)當a＝時，證明：方程f(x)＝f 在區間(2，＋∞)上有唯一解．

Answer 1

（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）見解析

(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－＝.
∵a>0，令f′(x)>0得x>；令f′(x)<0，得0<x<，
∴函數f(x)的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
(2)證明：當a＝時，f(x)＝x²－ln x，由(1)知f(x)的單調遞減區間為(0，2)，單調遞增區間為(2，＋∞)，
令g(x)＝f(x)－f ，則g(x)在區間(2，＋∞)單調遞增且g(2)＝f(2)－f <0，g(e²)＝－2－＋ln>0，
故方程f(x)＝f 在區間(2，＋∞)上有唯一解．