Question

“韓信點兵”問題：韓信在一次點兵的時候，為保住軍事秘密，不讓敵人知道自己部隊里的軍事實力，采用下述點兵方法：先令士兵1～3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2；又令士兵1～5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3；這樣韓信很快算出自己部隊士兵的總數(shù)．那么士兵的人數(shù)可能是  （　　）

A．20

B．46

C．53

D．63

Answer 1

分析：通過閱讀題目，問題可歸結(jié)為命題：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，求滿足以上兩條件的正整數(shù)．首先找到滿足以上兩個條件的最小正整數(shù)為8，然后根據(jù)3和5的最小公倍數(shù)時15，則符合條件的正整數(shù)可以寫成15n+8（n∈N）的形式，結(jié)合題目給出的選項即可得到正確答案．

解答：解：士兵1～3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2，說明士兵總?cè)藬?shù)為3n+2（n∈N）．
士兵1～5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3，說明士兵總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)余3，
而3n+2（n∈N）中的所有數(shù)字中，5的倍數(shù)余3的最小數(shù)字是8．
則說明士兵1～3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2，1～5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3的最少人數(shù)是8人．
而3和5的最小公倍數(shù)是15，則滿足上面兩種報數(shù)方法的人數(shù)為15n+8（n∈N）．
從四個選項中看到，只有士兵人數(shù)為53時符合15n+8（n∈N），此時n=3．
所以士兵總?cè)藬?shù)為53．
故選C．

點評：本題考查的是經(jīng)典的“中國剩余定理”算理及其應用，可理解為用樣本頻率分布估計總體頻率分布，解答的關(guān)鍵是理解其中的算理，該題還可以繼續(xù)添加條件，如“士兵1～7報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報4”等，此題是中檔題．