Question

已知函數f(x)=

x2+ax，x≤1 ax2+x，x＞1

則“a≤-2”是“f（x）在R上單調遞減”的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用分段函數a的范圍判斷函數的單調性，利用函數的單調性求出a的范圍，然后利用充要條件判斷方法判斷即可．

解答：解：函數f(x)=

x2+ax，x≤1 ax2+x，x＞1

，
當“a≤-2”時f（x）=x²+ax，x≤1是減函數，f（x）=ax²+x也是減函數，所以函數是單調減函數；
函數是減函數，則函數的對稱軸滿足：

- a 2 ≥1 - 1 2a ＜1

⇒a≤2．
所以函數f(x)=

x2+ax，x≤1 ax2+x，x＞1

則“a≤-2”是“f（x）在R上單調遞減”的充要條件．
故選C．

點評：本題考查函數的單調性與函數的對稱軸的應用，充要條件的判斷．