Question

已知

m

=(sinx+cosx，

3

cosx)，

n

=(cosx-sinx，2sinx)，函數f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C、的對邊，且a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平面向量數量積的運算法則計算

m

•

n

即可得到f（x）的解析式，然后由x的范圍，求出2x+

π

6

的范圍，根據正弦函數的圖象即可得到f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）把x=A代入f（x）的解析式中得到f（A）的值，并讓其值等于1得到正弦函數的值為

1

2

，根據A的范圍求出2A+

π

6

的范圍，再利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，然后利用余弦定理化簡得到一個關于b與c的關系式，根據b+c=3，兩者聯立即可求出b和c的值，然后利用三角形的面積公式，由bc的值及sinA的值即可求出△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
由x∈[-

π

6

，

π

3

]，
得到2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以f（x）∈[-1，2]；
（Ⅱ）由f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，2sin(2A+

π

6

)=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

?A=

π

3

，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

，∴b²+c²-bc=3
又b+c=3，
聯立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：此題考查學生掌握正弦函數的圖象及值域，靈活運用余弦定理及特殊角的三角函數值化簡求值，靈活運用三角形的面積公式化簡求值，是一道綜合題．