Question

（海南寧夏卷理21）設函數，曲線在點處的切線方程為。

（1）求的解析式；

（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

Answer 1

【試題解析】（Ⅰ），

于是

解得或

因，故．

    (II)證明：已知函數都是奇函數，

所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形。

而函數。

可知，函數的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數的圖象，故函數的圖像是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形。

（III）證明：在曲線上任一點.

由知,過此點的切線方程為.

令得,切線與直線交點為.

令得,切線與直線交點為.

直線與直線的交點為(1,1).

從而所圍三角形的面積為.

所以, 所圍三角形的面積為定值2.