Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-ax+b，其中實數a，b是常數．
（1）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A“f（1）≥0”發生的概率；
（2）若f（x）是R上的奇函數，g（a）是f（x）在區間[-1，1]上的最小值，求當|a|≥1時g（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）當a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}時，等可能發生的基本事件（a，b）共有9個，其中事件A“f(1)=

1

3

-a+b≥0”，包含6個基本事件，由此能求出事件“f（1）≥0”發生的概率．
（2）f(x)=

1

3

x3-ax+b，是R上的奇函數，得f（0）=0，b=0.f(x)=

1

3

x3-ax，f'（x）=x²-a，再由a的取值范圍分類討論知答案．

解答：解：（1）當a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}時，等可能發生的基本事件（a，b）共有9個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）．（4分）
其中事件A“f(1)=

1

3

-a+b≥0”，包含6個基本事件：（0，0），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，2）．（4分）
故P(A)=

6

9

=

2

3

．（6分）
答：事件“f（1）≥0”發生的概率

2

3

．（7分）
（2）f(x)=

1

3

x3-ax+b，是R上的奇函數，得f（0）=0，b=0．（8分）
∴f(x)=

1

3

x3-ax，f'（x）=x²-a，（9分）
當a≥1時，因為-1≤x≤1，所以f'（x）≤0，f（x）在區間[-1，1]上單調遞減，
從而g(a)=f(1)=

1

3

-a；（11分）
當a≤-1時，因為-1≤x≤1，所以f'（x）＞0，f（x）在區間[-1，1]上單調遞增，
從而g(a)=f(-1)=-

1

3

+a．（13分）
綜上，知g(a)=

a- 1 3 ，  a≤-1 -a+ 1 3 ， a≥1

．（14分）

點評：本題考查概率的應用和性質，出題者巧妙地把函數和概率融合在一起，體會了出題者的智慧，解題時也要合理地運用函數的性質進行求解．