Question

設(shè)a∈R，f（x）為奇函數(shù)，f(2x)=

a•4x+a-2

4x+1

．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求a，并寫出f（x）的表達式；
（3）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．（可能用到的知識：若x₁＜x₂，則0＜2x1＜2x2，0＜4x1＜4x2）

Answer 1

分析：（1）先用換元法由f（2x）求得f（x），再求f（x）的定義域．
（2）由f（x）為奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x）成立，用待定系數(shù)法求解．
（3）要求用定義證明，首先任意在定義域上任取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，若自變量與函數(shù)值變化一致，則為增函數(shù)；若自變量與函數(shù)值變化相反，則為減函數(shù)．

解答：解：（1）由題意f(2x)=

a22x+a-2

22x+1

∴f(x)=

a2x+a-2

2x+1

（2分）
故函數(shù)f（x）的定義域為R（4分）
（2）∵f（x）為奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）對任意的x∈R都成立∴f（0）=0（7分）
即a+a-2=0∴a=1（10分）
所以f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

（11分）
（3）對任意的x₁，x₂∈R且x₁＜x₂（14分）f(x1)-f(x2)=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0（16分）
即f（x₁）＜f（x₂）
函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增（17分）

點評：本題考查了換元法求函數(shù)解板式，求函數(shù)的定義域，奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，是函數(shù)性質(zhì)考查中常見類型，要求熟練準(zhǔn)確．