Question

【題目】某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2017年度進(jìn)行系列促銷活動(dòng)．經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀(jì)念品的年銷售量x（單位：萬件）與年促銷費(fèi)用t（單位：萬元）之間滿足3－x與t＋1成反比例．若不搞促銷活動(dòng)，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2017年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元．當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費(fèi)的一半”之和時(shí)，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等．（利潤＝收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)用）

（1）請(qǐng)把該工廠2017年的年利潤y（單位：萬元）表示成促銷費(fèi)t（單位：萬元）的函數(shù)；

（2）試問：當(dāng)2017年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)與成反比例，當(dāng)年促銷費(fèi)用為零萬元時(shí)，年銷量是萬件，可求出的值，進(jìn)而通過表示出年利潤，并化簡整理，代入整理即可求出萬元表示為促銷費(fèi)萬元的函數(shù)；（2）利用基本不等式求出最值，即可得結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)反比例系數(shù)為k（k≠0）．由題意有3－x＝.

又t＝0時(shí)，x＝1,所以3－1＝，k＝2,

則x與t的關(guān)系是x＝3－（t≥0）,

依據(jù)題意， 可知工廠生產(chǎn)x萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為（3＋32x）萬元，促銷費(fèi)用為t萬元，

則每件紀(jì)念品的定價(jià)為元/件，

于是進(jìn)一步化簡，得

y＝－－（t≥0）.

因此工廠2017年的年利潤為y＝－－（t≥0）.

（2）由（1）知，y＝－－（t≥0）＝50－≤50－2＝42,

當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝7時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)2017年的促銷費(fèi)用投入7萬元時(shí)，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．