Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=x2﹣2ax+5.

（1）若a>1，且函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數a的值；

（2）若不等式x|f（x）﹣x2|1對x∈[，]恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）根據f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a>1，知f（x）在[1，a]上單調遞減，所以f（1）=a求解即可.

（2）將不等式x|f（x）﹣x2|1對x∈[，]恒成立，去絕對值轉化為a且a在x∈[，]恒成立，分別令g（x），x∈[，]，用二次函數求其最大值，令h（x），x∈[，]，求其最小值即可.

（1）∵f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a>1，

∴f（x）在[1，a]上單調遞減，

∴f（1）=a，即6﹣2a＝a，解得a=2..

（2）不等式x|f（x）﹣x2|1對x∈[，]恒成立，

即x|2ax﹣5|1對x∈[，]恒成立，

故a且a在x∈[，]恒成立，

令g（x），x∈[，]，

所以g（x）max=g（），

所以.

令h（x），x∈[，]，

所以h（x）min=h（）=7，

所以.

綜上：.