Question

對于變量x與y，現在隨機得到4個樣本點A₁（2，1），A₂（3，2），A₃（5，6），A₄（4，5）．小馬同學通過研究后，得到如下結論：
（1）四個樣本點的散點圖是一個平行四邊形的四個頂點；
（2）平行四邊形A₁A₂A₃A₄的兩條對角線A₁A₃、A₂A₄所在的直線均可以作為這組樣本點的以變量x為解釋變量的用最小二乘法求出的回歸直線，所不同的是這兩條回歸直線所對應的回歸方程的預報精度不同．你認為上述結論正確嗎？試說明理由．（參考數據：

4

k=1

xk=14，

4

k=1

xk2=54，

4

k=1

yk=14，

4

k=1

xkyk=58）

Answer 1

分析：（1）是一個正確的結論，在四個點組成的四邊形中，做出對邊的斜率，得到兩條直線的斜率相等，得到四邊形的兩對對邊平行，即四邊形是一個平行四邊形．
（2）這個結論不正確，做出的線性回歸直線的方程與兩條對角線的方程中對應的直線的斜率差別比較大，首先做出四個點對應的線性回歸方程的斜率，再做出兩條對角線的斜率，比較得到結論．

解答：解：（1）是一個正確的結論，
∵在四個點組成的四邊形中，對邊的斜率之間
kA1A2=1=kA3A4
kA2A3=2=kA1A4
∴四邊形的兩對對邊平行，
∴四邊形是一個平行四邊形，
即第一個結論正確．
（2）這個結論不正確，做出的線性回歸直線的方程與兩條對角線的方程中對應的直線的斜率差別比較大
首先做出四個點對應的線性回歸方程的斜率，
∵

4

k=1

xk2=54，

4

k=1

yk=14，

4

k=1

xkyk=58  

4

k=1

xk=14  
∴

b

=1.8
∵kA1A3=

5

3

kA2A4=3
∴從三條直線的斜率上可以看出三條直線之間差距較大，不能用平行四邊形A₁A₂A₃A₄的兩條對角線A₁A₃、A₂A₄所在的直線作這組樣本點的以變量x為解釋變量的用最小二乘法求出的回歸直線．

點評：本題看出獨立性檢驗的應用，看出最小二乘法來求線性回歸方程，本題解題的關鍵是題干比較長需要讀懂題意，本題是一個中檔題目．