Question

設P表示冪函數在（0，+∞）上是增函數的c的集合；Q表示不等式|x-1|+|x-2c|＞1對任意x∈R恒成立的c的集合．
（1）求P∩Q；
（2）試寫出一個解集為P∩Q的不等式．

Answer 1

解：（1）∵冪函數在（0，+∞）上是增函數，∴c²-5c+6＞0，即P=（-∞，2）∪（3，+∞），
又不等式|x-1|+|x-2c|＞1對任意x∈R恒成立，∴|2c-1|＞1，即Q=（-∞，0）∪（1，+∞），
∴P∩Q=（-∞，0）∪（1，2）∪（3，+∞）．
（2）一個解集為P∩Q的不等式可以是 x（x-1）（x-2）（x-3）＞0．
分析：（1）根據冪函數的性質得到冪函數為增函數時，指數大于0，求出解集即可得到P；因為不等式|x-1|+|x-2c|＞1對任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x-1|+|x-2c|的最小值即可求出c的范圍得到Q，然后求出P∩Q；
（2）根據（1）求出的P∩Q，可以舉例為解集為P∩Q的一個不等式即可．
點評：考查學生掌握冪函數的增減性，理解函數恒成立時所取的條件，以及會求集合并集的運算．本題第二問是開放性題目，答案不唯一，考查學生發散思維的能力．