Question

(22)已知f(x)=4x+ax²－x³(x∈R)在區間［－1,1］上是增函數.

(Ⅰ)求函數a的值組成的集合A;

(Ⅱ)設關于x的方程f(x)=2x+x³的兩個非零實根為x₁、x₂.試問:是否存在實數m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(22)本小題主要考查函數的單調性，導數的應用和不等式等有關知識，考查數形結合及分類討論思想和靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

解：(Ⅰ)f′(x)=4+2ax－2x²,∵f(x)在［－1,1］上是增函數,

∴f′(x)≥0對x∈［－1,1］恒成立.

即x²－ax－2≤0對x∈［－1,1］恒成立.                  ①

設(x)=x²－ax－2,

方法一：

①－1≤a≤1,

∵對x∈［－1,1］,只有當a=1時,f′(－1)=0以及當a=－1時,f′(1)=0,

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

①或

0≤a≤1或－1≤a<0

－1≤a≤1.

∵對x∈［－1,1］,只有當a=1時,f′(－1)=0以及當a=－1時,f′(1)=0,

∴A={a|－1≤a≤1}.

(Ⅱ)由4x+ax²－x³=2x+x³,得x=0或x²－ax－2=0,

∵Δ=a²+8>0,

∴x₁,x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根,

∴從而|x₁－x₂|==.

又∵－1≤a≤1,∴|x₁－x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈［－1,1］恒成立.

即m²+tm－2≥0,對任意t∈［－1,1］恒成立.           ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2),

方法一：

②

m≥2或m≤－2

所以,存在實數m,使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤－2}.

方法二：

當m=0時,②顯然不成立;

當m≠0時,

②或

m≥2或m≤－2.

所以,存在實數m,使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤－2}.