Question

（2009•虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實數(shù)，a≠0），定義域D：[-1，1]
（1）當a=1，b=-1時，若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)恒小于零，求c的取值范圍；
（2）當a=1，常數(shù)b＜0時，若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)恒不為零，求c的取值范圍；
（3）當b＞2a＞0時，在D上是否存在x，使得|f（x）|＞b成立？（要求寫出推理過程）

Answer 1

分析：（1）a=1，b=-1y=x²-x+c＜0在[-1，1]恒成立，則-c＞x²-x在[-1，1]上恒成立，令g（x）=x²-x，x∈[-1，1]，-c＞g（x）_max可求
（2）a=1，b＜0，f（x）=x²+bx+c≠0在[-1，1]上恒成立?-c≠h（x）=x²+bx在[-1，1]上恒成立，結(jié)合函數(shù)h（x）的范圍可求c得范圍
（3）假設(shè)在D上存在x，使得|f（x）|＞b成立則只要|f（x）|_max＞b即可

解答：解：（1）a=1，b=-1y=x²-x+c＜0在[-1，1]恒成立
則-c＞x²-x在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x²-x，x∈[-1，1]，則可得g（x）_max=2
則-c＞2即c＜-2
（2）a=1，b＜0，f（x）=x²+bx+c≠0在[-1，1]上恒成立?-c≠h（x）=x²+bx在[-1，1]上恒成立，
而函數(shù)h（x）=x²+bx的對稱軸x=-

b

2

＞0
（當-

b

2

＞1b＜-2，函數(shù)g（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，則可得g（1）≤g（x）≤g（-1），即1+b≤g（x）≤1-b
所以，-c＞1-b或-c＜1+b    所以c＜b-1或c＞-1-b
（II）當-

b

2

≤1即2≤b＜0時，g(-

b

2

)≤g(x) ≤g(-1)，即-

b2

4

≤g(x)≤1-b
所以-c＞1-b或-c＜-

b2

4

所以，c＜b-1或c＞

b2

4

（3）假設(shè)在D上存在x，使得|f（x）|＞b成立則只要|f（x）|_max＞b即可
由于b＞2a＞0，則對稱軸x=-

b

2a

＜-1
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得|f（x）|的最大值=max{||f（1）|，|f（-1）|}
|a+b+c|＞b或|a-b+c|＞b
從而可得，存在實數(shù)滿足條件

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并能靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì)及一定的推理與運算的能力