Question

如圖所示，在直角坐標平面上的矩形OABC中，|OA|=2，，點P，Q滿足，，點D是C關于原點的對稱點，直線DP與CQ相交于點M．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線與點M的軌跡相交于E，F兩點，求△AEF的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量運算得到直線DP的方程和直線CQ的方程，消去參數即可得到M的軌跡方程；
（2）欲求△AEF的面積的最大值，先將△AEF的面積表示成某個變量的函數，再利用基本不等式求函數的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），由圖可知A（2，0），，，．
由，得點P的坐標為（2λ，0）；
由，得點Q的坐標為．
于是，當λ≠0時，直線DP的方程為，①
直線CQ的方程為．②
①×②，得，即．
當λ=0時，點M即為點C，而點C的坐標也滿足上式．
故點M的軌跡方程為．

（Ⅱ）設過點（1，0）的直線EF的方程為x=my+1，且設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
由
得（3m²+4）y²+6my-9=0．③
由于上述方程的判別式△=（6m）²+36（3m²+4）＞0，所以y₁，y₂是方程③的兩根，
根據求根公式，可得．
又A（2，0），所以△AEF的面積．
令（t≥1），則m²=t²-1．
于是，t≥1．
記，t≥1，則．
因為當t≥1時，f'（t）＞0，所以在[1，+∞）上單調遞增．
故當t=1時，f（t）取得最小值，
此時取得最大值．
綜上所述，當m=0時，即直線EF垂直于x軸時，△AEF的面積取得最大值．
點評：本小題主要考查向量的運算、直線方程、求曲線的方程以及函數最值等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．