Question

（2013•廣東）（幾何證明選講選做題）
如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=

2

3

．

Answer 1

分析：利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，進(jìn)而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答：解：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴△CED∽△ACB．
∴

CD

AB

=

ED

BC

，又CD=BC，
∴BC=

AB•ED

=

6×2

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力．