Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上單調遞增，試求a的取值范圍；
（2）當a＜0時，若函數滿足y_極大=1，y_極小=-3，試求y=f（x）的解析式；
（3）當x∈（0，1]時，y=f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，且0≤θ≤

π

4

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數f′（x），要使f（x）在區間（0，2）上單調遞增，只需x∈（0，2）時，f′（x）＞0恒成立，利用分離參數法，即可求出a的范圍；
（2）由（1）中導函數的解析式，我們易求出函數取極值時x的值，然后根據函數f（x）的極小值和極大值，構造關于a，b的方程，解方程后即可求出函數y=f（x）的解析式；
（3）根據導數的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由題設，當x∈（0，2）時，f′（x）≥0恒成立，即-3x²+2ax≥0恒成立，
∴2a≥3x恒成立，
∴2a≥6，
∴a≥3
（2）求導函數，可得f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a）
a＞0時，當x∈（-∞，

2

3

a）時，f′（x）＜0，x∈（

2

3

a，0）時，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0
∴函數在0處取得極大值，在

2

3

a處取得極小值
∵函數滿足y_極大=1，y_極小=-3，
∴f（0）=1，f（

2

3

a）=-3
∴a=-3，b=1
∴f（x）=-x³-3x²+1
（3）當x∈（0，1]時，tanθ=f′（x）=-3x³+2ax
∵0≤θ≤

π

4

，∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1在x∈（0，1]恒成立，
由（1）知，當-3x²+2ax≥0時，a≥

3

2

，
由-3x²+2ax≤1得2a≤3x+

1

x

恒成立，
∵3x+

1

x

≥2

3

（當且僅當x=

3

3

時，取等號）
∴2a≤2

3

∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

點評：本題主要考查導數知識的運用，考查靈活運用轉化與劃歸的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．