Question

某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB>AD)為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．

(1)設AB＝x(米)，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
(2)若要求最節能，應怎樣設計薄板的長和寬？
(3)若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

Answer 1

（1）y＝2(1－)，1<x<2.
（2）長為米，寬為(2－)米時，節能效果最好
（3）薄板長為米，寬為(2－)米時，制冷效果最好

解：(1)由題意，AB＝x，BC＝2－x.
x>2－x，故1<x<2.
設DP＝y，則PC＝x－y.
又△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
由PA²＝AD²＋DP²，
得(x－y)²＝(2－x)²＋y²，
y＝2(1－)，1<x<2.
(2)記△ADP的面積為S₁，
則S₁＝(1－)(2－x)＝3－(x＋)≤3－2，
當且僅當x＝∈(1,2)時，S₁取得最大值．
故當薄板長為米，寬為(2－)米時，節能效果最好．
(3)記凹多邊形ACB′PD的面積為S₂，
則S₂＝x(2－x)＋(1－)(2－x)＝3－(x²＋)(1<x<2)，
于是S′₂＝－ (2x－)＝＝0，得x＝.
關于x的函數S₂在(1，)上單調遞增，在(，2)上單調遞減，所以當x＝時，S₂取得最大值．
故當薄板長為米，寬為(2－)米時，制冷效果最好．