Question

正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是EF的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）在線段CA上是否存在點P，使直線PF與CD所成的角為60°．若存在請確定點P位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設底面對角線的交點為O，連接E、O，根據M為EF的中點，四邊形ACEF為矩形則EM∥AO且EM=AO，從而AM∥OE，又OE在平面BDE面內，AM在平面BDE面外，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得結論；
（Ⅱ）一點C為坐標原點，分別以CD、CB、CE為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出向量，，，根據•=0，=0可得AM⊥BD，AM⊥DF，而BD∩DF=D，根據線面垂直的判定定理可證得AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）設P（x，y，z），=t （0≤t≤1），求出，，根據直線PF與CD所成的角為60°建立等式求出t的值，從而確定點P的位置．
解答：（Ⅰ）證明：設底面對角線的交點為O，連接E、O． …（1分）
∵M為EF的中點，四邊形ACEF為矩形
∴EM∥AO且EM=AO
∴AM∥OE         …（2分）
又OE在平面BDE面內，AM在平面BDE面外          …（3分）
∴AM∥平面BDE．  …（4分）
（Ⅱ）證明：建立如圖所示的坐標系C-xyz
A（，，0），M（，，1），B（0，，0），D（，0，0），F（，，1），
=（-，-，1），=（，-，0），=（0，，1），
∵•=0，=0
∴AM⊥BD，AM⊥DF  …（6分）
又∵BD∩DF=D        …（7分）
∴AM⊥平面BDF       …（8分）
（Ⅲ）證：設P（x，y，z），則C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），F（，，1），
設=t （0≤t≤1）即
（x，y，z）=t（，，0）=（t，t，0）
∴P（t，t，0）…（10分）
∴=（-，-，1），=（，0，0），
∴cos＜，＞=  （0≤t≤1）
∴t=或t=（舍）
∴
∴P為線段AC的中點     …（12分）
點評：本題主要考查了用空間向量求直線間的夾角，以及線面平行的判定和線面垂直的判定、異面直線所成角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．