Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax，g(x)=f′(x)是函數f（x）的導函數，其中實數a是不等1的常數．
（1）當a=0時，求f（x）的單調區間；
（2）設a＞1，若函數f（x）有三個零點，求a的取值范圍；
（3）若a＞-1，求函數|g（x）|在區間[-1，1]內的最大值M（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）a=0時，求導，分析導函數的符號即可求得結果；（2）求得，分析導函數的符號，求出函數的極大值和極小值，要使函數f（x）有三個零點，因此得到函數的極大值大于零，極小值小于零，解此不等式組即可求得結論；（3）分類討論，根據函數|g（x）|在區間[-1，1]內單調性即可求得其的最大值．

解答：（1）f′（x）=x（x-1），
∴函數f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減；
（2）f′（x）=（x-a）（x-1），
由f（1）=

1

2

a-

1

6

＞0，f（a）=-

1

6

a3+

1

2

a2＜0，
解得a＞3；
（3）①當a＞1時，|g（x）|在區間[-1，1]內的最大值是g（-1）=2a+2
②當-1＜a＜1時，0＜

a+1

2

＜1，|g（x）|在區間[-1，1]內的最大值是
max{g（-1），|g（

a+1

2

）|}=max{2a+2，

(a-1)2

4

}
解不等式2a+2-

(a-1)2

4

＞0，得5-4

2

＜a＜5+4

2

∴當-1＜a＜5-4

2

時，|g（x）|在區間[-1，1]內的最大值是

(a-1)2

4

，
當5-4

2

≤a＜1時，|g（x）|在區間[-1，1]內的最大值是2a+2．
綜上M（a）=

(a-1)2 4 ，-1＜a＜5-42 2a+2      ，5-42≤a＜1

．

點評：掌握導數與函數單調性的關系，會熟練運用導數解決函數的極值與最值問題，考查了計算能力和分析解決問題的能力，體現了分類討論的思想，是難題．