Question

【題目】已知函數．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數的圖象與函數的圖象在區間上有公共點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）本小題考查用導數的幾何意義求切線方程，首先求出導數，計算，這就是切線斜率，由點斜式寫出切線方程，化簡即可；（2）函數的圖象與函數的圖象在區間上有公共點，說明在區間上存在，使，由于是連續的，因此如果在有最大值，則最大值必大于等于1，如有最小值，則最小值必小于等于1，（或存在小于1的值，也存在大于1的值），因此可用導數研究函數的單調性與極值、最值得出結論．

試題解析：（1）∵，∴且．

又∵，

∴．

∴在點處的切線方程為：，即．

（2），

（ⅰ）當，即時，

由在上是增函數，在上是減函數，

∴當時，取得最大值，即．

又當時，，當時，，

當時，，

所以，的圖象與的圖象在上有公共點，

等價于，解得，

又因為，所以．

（ⅱ）當，即時，在上是增函數，

∴在上的最大值為，

∴原問題等價于，解得，

又∵，∴無解．

綜上，的取值范圍是．