Question

設函數f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=2^x+1，則滿足不等式f（t）＜-3的t的取值范圍是

t＜-1

．

Answer 1

分析：設x＜0則-x＞0，則f（-x）=2-x+1=(

1

2

)x+1，由函數為奇函數可得f（-x）=-f（x）及f（0）=0可求函數的解析式，由f（t）＜-3，分t＜0，t＞0，t=0三種情況分別代入f（t）進行解不等式．

解答：解：設x＜0則-x＞0，則f（-x）=2-x+1=(

1

2

)x+1
由函數為奇函數可得f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-((

1

2

)x+1)，而x=0時，f（0）=0
∴f(x)=

2x+1，x＞0 0，x=0 -(( 1 2 )x+1)，x＜0

∵f（t）＜-3
當t＜0時，則有-((

1

2

)t+1)＜-3即(

1

2

)t+1＞3，解可得t＜-1
當t＞0時，2^t+1＜-3的t不存在
當t=0時，0＜-3不成立
綜上可得t＜-1
故答案為：t＜-1

點評：本題主要考查了利用奇函數的性質求解函數的解析式，解題中不要漏掉對x=0的考慮，還考查了指數函數的單調性在解不等式中的應用，體現了分類討論的思想在解題中的應用