Question

已知函數f（x）為定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x²-2x-3．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數y=f（x）圖象的示意圖；
（3）根據圖象寫出函數y=f（x）的單調遞增（減）區間（不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）只需求出x≤0時的表達式即可，設x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x-3，可求f（-x），再根據奇函數性質可求出f（x），及f（0）．
（2）根據各段函數特征依次畫出即可．
（3）觀察圖象，從左向右呈上升趨勢為增函數，呈下降趨勢則為減函數，依此可寫出單調區間．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，∴f（-x）=x²+2x-3，
又∵f（x）是奇函數∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x+3，
∴f（x）=-x²-2x+3，
當x=0時，f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
所以f（x）=

x2-2x-3，x＞0 0，x=0 -x2-2x+3，x＜0

．
（2）函數y=f（x）的示意圖如下：
     
（3）單調遞增區間為：（-∞，-1），（1，+∞）；單調遞減區間為：（-1，0），（0，1）．

點評：本題考查函數的奇偶性及其應用、單調性與圖象作法，屬基礎知識，難度一般．