Question

 對于三次函數，定義是的導函數的導函數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，可以證明，任何三次函數都有“拐點”，任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，請你根據這一結論判斷下列命題：

①任意三次函數都關于點對稱：

②存在三次函數有實數解，點為函數的對稱中心；

③存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心；

④若函數，則，

其中正確命題的序號為                  (把所有正確命題的序號都填上）.

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】

試題分析：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，

∵f^″(x)=6a×(-)+2b=0，∴任意三次函數都關于點（-，f（-））對稱，即①正確；

∵任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，

∴存在三次函數f′（x）=0有實數解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即②正確；

任何三次函數都有且只有一個對稱中心，故③不正確；

∵，∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，

令g''（x）=2x-1=0，得x=，∵g（）=³-×()²-=-，

∴函數的對稱中心是（，-），

∴g（x）+（g（1-x）=-1，

∴，故④正確．

故答案為：①②④．

考點：應用導數研究函數的性質

點評：中檔題，本題綜合性較強，研究函數的圖象和性質。利用導數研究函數的單調性，是常用方法。