Question

某學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=xsinx進(jìn)行研究，得出如下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增；
②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；
③函數(shù)f（x）在（0，π）無(wú)最小值，但一定有最大值；
④點(diǎn)（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．
其中正確的是（　　）

• A、③
• B、②③
• C、②④
• D、①②④

Answer 1

分析：①化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，即可判定在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增的正誤；
②找出一個(gè)常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立即可；
③利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)f（x）在（0，π）的最值即可；
④找出關(guān)于點(diǎn)（π，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是否關(guān)于（π，0）對(duì)稱(chēng)即可判斷正誤；

解答：解：①f（-x）=-xsin（-x）=f（x），易知f（x）是偶函數(shù)，因此f（x）=xsinx在[-

π

2

，

π

2

]上不可能單調(diào)遞增；
②取M=1即可說(shuō)明結(jié)論是正確的；
③由②知|f（x）|≤|x|，故在（0，π）一定有最大值，由于f（x）＞0，且和0無(wú)限靠近，因此無(wú)最小值；
④f(

π

2

)=

π

2

，f(

3π

2

)=-

3π

2

，f(

π

2

)≠-f(

3π

2

)．故點(diǎn)（π，0）不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，牢記基本知識(shí)，基本性質(zhì)是解好數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵．