Question

已知函數的減區間是．
⑴試求m、n的值；
⑵求過點且與曲線相切的切線方程；
⑶過點A（1，t）是否存在與曲線相切的3條切線，若存在求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：⑴由題意知：的解集為，
所以，-2和2為方程的根，                ………………2分
由韋達定理知 ，即m=1，n=0．         ………………4分
⑵∵，∴，∵
當A為切點時，切線的斜率，
∴切線為，即；                ………………6分
當A不為切點時，設切點為，這時切線的斜率是，
切線方程為，即   
因為過點A（1，-11）， ，∴，
∴或，而為A點，即另一個切點為，
∴，
切線方程為，即………………8分
所以，過點的切線為或．   …………9分
⑶存在滿足條件的三條切線．                                     …………10分
設點是曲線的切點，
則在P點處的切線的方程為 即
因為其過點A（1，t），所以，，   
由于有三條切線，所以方程應有3個實根，          …………………………11分
設，只要使曲線有3個零點即可．
設=0，∴分別為的極值點，
當時，在和上單增，
當時，在上單減，
所以，為極大值點，為極小值點.
所以要使曲線與x軸有3個交點，當且僅當即，
解得  .                                         …………14分

略