Question

（2012•順義區一模）計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分進行，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”并頒發“合格證書”．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為：

4

5

、

3

4

、

2

3

，在實際操作考試中“合格”的概率依次為：

1

2

、

2

3

、

5

6

，所有考試是否合格相互之間沒有影響．
（Ⅰ）假設甲、乙、丙3人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得“合格證書”的可能性大；
（Ⅱ）求這3人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有2人獲得“合格證書”的概率；
（Ⅲ）用X表示甲、乙、丙3人在理論考試中合格的人數，求X的分布列和數學期望EX．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“甲、乙、丙獲得合格證書”分別為事件A、B、C，由獨立事件的概率分別可得P（C），P（B），P（A），比較大小可得結論；
（Ⅱ）設3人考試后恰有2人獲得“合格證書”為事件D，可得P(D)=P(A，B，

.

C

)+P(A，

.

B

，C)+P(

.

A

，B，C)，由獨立事件和互斥事件的概率公式可得；
（Ⅲ）由題意可得X=0，1，2，3，分別可得可得其對應的概率，進而可得X的分布列為和數學期望EX．

解答：解：（Ⅰ）記“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，
則P(A)=

4

5

×

1

2

=

2

5

=

36

90

，P(B)=

3

4

×

2

3

=

1

2

=

45

90

，P(C)=

2

3

×

5

6

=

5

9

=

50

90

P（C）＞P（B）＞P（A），所以丙獲得合格證書的可能性大．__________（4分）
（Ⅱ）設3人考試后恰有2人獲得“合格證書”為事件D，
∴P(D)=P(A，B，

.

C

)+P(A，

.

B

，C)+P(

.

A

，B，C)
=

2

5

×

1

2

×

4

9

+

2

5

×

1

2

×

5

9

+

3

5

×

1

2

×

5

9

=

11

30

．__________（8分）
（Ⅲ）由題意可得X=0，1，2，3．，
可得P(X=0)=

1

5

×

1

4

×

1

3

=

1

60

，P(X=1)=

4

5

×

1

4

×

1

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

1

5

×

1

4

×

2

3

=

9

60

，
P(X=2)=

4

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

2

3

=

26

60

，P(X=3)=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

24

60

__________（10分）
故X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 60	9 60	26 60	24 60

∴EX=0×

1

60

+1×

9

60

+2×

26

60

+3×

24

60

=

133

60

；                                                 __________（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，涉及相互獨立事件的概率乘法公式，屬中檔題．