Question

【題目】已知函數(其中為常數，).（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）當時，是否存在實數，使得當時，不等式恒成立？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請說明理由(其中是自然對數的底數，).

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 當時， 的增區間為和.

當a>0時，增區間為和，減區間為和

（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）

①當時，恒成立，

于是的增區間為和.

②當時，由,得或.列表得

	＋	0	－	－	0	＋
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

于是增區間為和，

減區間為和

綜上可得, 當時， 的增區間為和.

當時，增區間為和，減區間為和

（Ⅱ）當時，對于任意時，不等式恒成立等價于

因為,所以在上遞增.

所以

由（Ⅰ）知

①當，即時，在上單調遞減，

故時,成立.

②當，

當時，，

故時,成立.

當時，

,得又,

故時,成立.

③當，即時,

,得與矛盾.

綜上所述，存在實數時，對于任意時，不等式恒成立.

(轉化為恒成立后,用分離參數法求解,比照給分)