Question

等差數列{a_n}的各項為正整數，a₁=3，前n項和為S_n，等比數列{b_n}中，b₁=1，且b₂•S₂=16，b₃是a₁、a₂的等差中項
（1）求a_n與b_n；        
（2）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用b₂•S₂=16，b₃是a₁、a₂的等差中項，即可列出方程組求的q、d的值，進而獲得問題的解答；
（2）首先利用等差數列的前n項和公式計算出數列的前n項和，然后裂項求和法求出和，最后利用放縮法即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由已知可得

q(3+3+d)=16 2q2=3+3+d

．
解得，q=2，d=2
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1
∴b_n=2^n-1
（2）證明：∵Sn=

n(3+2n+1)

2

∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
∵n≥1∴0＜

1

n+1

，

1

n+2

＞0
∴

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

點評：本題考查的是數列通項的求法與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了解方程的思想、前n項和公式以及放縮法等知識．值得同學們體會反思．