Question

（2012•藍山縣模擬）△ABC中，角A、B、C的對應邊分別為a、b、c，且滿足a²-ab+b²=c²，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周長為2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由三角形的周長為2，用a與b表示出c，代入已知的等式，得到a與b的關系式，整理得3ab+4=4（a+b），利用基本不等式求出a+b的最小值，以及此時a與b的關系，進而得到4（a+b）的最小值，可得出3ab+4的最小值，列出關于

ab

的不等式，求出不等式的解集即可得到

ab

的范圍，得到ab的最大值，并求出此時a與b的值，最后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinC及a和b的值代入，即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由a²-ab+b²=c²，得a²+b²-c²=ab，
利用余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C為三角形的內角，
∴C=

π

3

；
（2）由a²-ab+b²=c²=（2-a-b）²，即3ab+4=4（a+b），
而 a+b≥2

ab

，當且僅當a=b時取等號，
即3ab+4≥8

ab

，
即3ab-8

ab

+4≥0，
解得：

ab

≤

2

3

或

ab

≥2（舍去）
所以ab≤

4

9

，又sinC=

3

2

，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab，
當a=b=

2

3

時，S_△ABC有最大值為

3

9

．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函數值以及三角形的面積公式，靈活運用基本不等式 a+b≥2

ab

，（當且僅當a=b時取等號）是求出三角形的最大面積的關鍵．