Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點為的中點．

（1）求證：平面；

（2）若平面 平面，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）取中點，連結．先證明，再證明平面．（2）利用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值．

詳解：（1）取中點，連結．

因為點為的中點，所以且，

又因為且，所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）在平面中，過作，在平面中，過作．

因為平面 平面，平面 平面，所以平面，

所以，所以兩兩互相垂直.

以為原點，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系 （如圖），則，，，，， 7分

所以，，，

設是平面的一個法向量，

則即

取，得．

設直線與平面所成角為．

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為．