Question

某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是

1

3

，每次測試通過與否相互獨立．規定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（1）求該學生考上大學的概率；
（2）如果考上大學或參加完5次考試就結束，求該生至少參加四次考試的概率．

Answer 1

分析：（1）記“該生考上大學”的事件為A，其對立事件為

.

A

，直接求P（A）比較困難，于是通過求1-P（

.

A

）來得到P（A）的值．
（2）記“該生參加測試的次數”為ξ，求出P（ξ=4）和P（ξ=5）的值，相加即得所求．

解答：解：（1）記“該生考上大學”的事件為A，其對立事件為

.

A

，
則P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

112

243

，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．…（6分）
（2）記“該生參加測試的次數”為ξ，則ξ=4說明前3次考試只通過了1次，而第4次通過了，或前4次都沒有通過，
故 P(ξ=4)=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2(

1

3

)+(

2

3

)4=

4

27

+

16

81

=

28

81

，
ξ=5說明前4次考試只通過了1次，，故 P(ξ=5)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
∴該生至少參加四次考試的概率P=

28

81

+

32

81

=

20

27

．…（12分）

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．