Question

在四棱錐P -ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,對角線AC與BD交于點O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.

(1)求四棱錐的體積.

(2)若E是PB的中點,求異面直線DE與PA所成角的余弦值.

 

Answer 1

(1)2 (2)

【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中,

∵PO⊥平面ABCD,

∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,

即∠PBO=60°.

在Rt△POB中,

∵BO=AB·sin30°=1,

又PO⊥OB,

∴PO=BO·tan60°=,

∵底面菱形的面積S菱形ABCD=2.

∴四棱錐P -ABCD的體積

VP -ABCD=×2×=2.

(2)取AB的中點F,連接EF,DF,

∵E為PB中點,

∴EF∥PA.

∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或補角).

在Rt△AOB中,

AO=AB·cos30°==OP,

∴在Rt△POA中,PA=,

∴EF=.

∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,

∴△ABD為正三角形.

又∵∠PBO=60°,BO=1,

∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD為正三角形,

∴DF=DE=,

∴cos∠DEF=

===.

即異面直線DE與PA所成角的余弦值為.