Question

已知、是橢圓的左右焦點，點P是橢圓C上的動點．
（1）若橢圓C的離心率為，且的最大值為8，求橢圓C的方程；
（2）若△P為等腰直角三角形，求橢圓C的離心率．

Answer 1

解：（1）設橢圓C上的點P坐標為（，），
可得=（﹣c﹣，﹣），=（c﹣，﹣），
∴=（﹣c﹣）（c﹣）+=+﹣c²
∵P是橢圓C上的點，滿足=b²（1﹣），且﹣a＜＜a
∴=（1﹣）+b²﹣c²≤（1﹣）a²+b²﹣c²=b²
所以，當且僅當=a²時，的最大值為b²=8，可得b=2
∵橢圓的離心率為，
∴，可得a=c，b=c
∴c=2，a=2，橢圓C的方程是
（2）∵△P為等腰直角三角形，
∴點P為短軸頂點，且OP==c即b=c，=c，
可得a²=2c²，即a=c
∴橢圓C的離心率e==