Question

正實數數列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差數列．
（1）證明數列{a_n}中有無窮多項為無理數；
（2）當n為何值時，a_n為整數，并求出使a_n＜200的所有整數項的和．

Answer 1

（1）證明：由已知有：a_n²=1+24（n-1），從而，
方法一：取n-1=24^2k-1，則
用反證法證明這些a_n都是無理數．
假設為有理數，則a_n必為正整數，且a_n＜24^k，
故a_n-24^k≥1．a_n-24^k＞1，與（a_n-24^k）（a_n+24^k）=1矛盾，
所以都是無理數，即數列a_n中有無窮多項為無理數；
（2）要使a_n為整數，由（a_n-1）（a_n+1）=24（n-1）可知：
a_n-1，a_n+1同為偶數，且其中一個必為3的倍數，所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m
當a_n=6m+1時，有a_n²=36m²+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必為偶數，所以a_n=6m+1（m∈N）滿足a_n²=1+24（n-1）
即（m∈N）時，a_n為整數；
同理a_n=6m-1（m∈N⁺）有a_n²=36m²-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N⁺）
也滿足a_n²=1+24（n-1），即（m∈N⁺）時，a_n為整數；
顯然a_n=6m-1（m∈N⁺）和a_n=6m+1（m∈N）是數列中的不同項；
所以當（m∈N）和（m∈N⁺）時，a_n為整數；
由a_n=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由a_n=6m-1＜200（m∈N⁺）有1≤m≤33．
設a_n中滿足a_n＜200的所有整數項的和為S，則
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=
分析：（1）由a₁=1，a₂=5且{a_n²}成等差數列，求出a_n²的通項公式，由通項公式分析出無理數；
（2）由a_n的表達式討論使a_n＜200的整數項，從而求出所有整數項的和．
點評：對一個正整數數能否寫成另一個整數的平方的形式，是難點；對整數的奇偶性分析也是難點；故此題是中檔題．