Question

【題目】關于函數有下述四個結論：

①函數的圖象把圓的面積兩等分

②是周期為的函數

③函數在區間上有3個零點

④函數在區間上單調遞減

其中所有正確結論的編號是（ ）

A.①③④B.②④C.①④D.①③

Answer 1

【答案】C

【解析】

先利用誘導公式和二倍角公式將函數化簡為f（x）＝sinx﹣x，因為單位圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，所以可以先證明函數的奇偶性，進而即可判斷①，利用函數的周期性可判斷②，利用導數判斷函數單調遞減，從而可以判斷③④．

解：f（x）＝2sinsin（+）﹣x＝2sincos﹣x＝sinx﹣x，

對于①，因為f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣sinx+x＝﹣f（x），所以函數f（x）為奇函數，關于原點對稱，且過圓心，而圓x2+y2＝1也是關于原點對稱，所以①正確；

對于②，因為f（x+π）＝sin（x+π）﹣（x+π）＝﹣sinx﹣x﹣π≠f（x），所以f（x）的周期不是π，即②錯誤；

對于③，因為＝cosx﹣1≤0，所以f（x）單調遞減，所以f（x）在區間（﹣∞，+∞）上至多有1個零點，

即③錯誤；

對于④，＝cosx﹣1≤0，所以f（x）單調遞減，即④正確．

故選：C．