Question

【題目】已知函數f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函數的單調區間及最值；
（2）求證：對于任意正整數n，均有1+ + …+ ≥ln （e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 f′（x）= ，

∴當a＞0時，令f′（x）=0，求得x=a，

由ax＞0，求得x＞0，函數的定義域為（0，+∞），

此時函數在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數，

故函數f（x）的極小值為f（a）=lna2，無最大值．

當a＜0時，由ax＞0，求得x＜0，可得函數f（x）的定義域為（﹣∞，0），

此時函數（﹣∞，a）上，f′（x）= ＜0，f（x）是減函數；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數，

故函數f（x）的極小值為f（a）=lna2，無最大值

（2）證明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥f（1）=0，∴ ≥1﹣lnx=ln ，

取x=1，2，3…，n，則 1+ + …+ ≥ln +ln +ln +…+ln =ln ，

故要征得不等式1+ + …+ ≥ln 成立

【解析】（1）先求出函數的導數，分類討論a的范圍，確定函數的單調性，從而求得函數的極值．（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥0，即 ≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．