Question

已知曲線C的方程為

x2

|k|

+

y2

1-k

=1，則當C為雙曲線時，k的取值范圍是

（1，+∞）

；當C為焦點在y軸上的橢圓時，k的取值范圍是

(-∞，0)∪(0，

1

2

)

．

Answer 1

分析：（1）根據曲線是橢圓時的雙曲線的方程的特點是方程中y²的分母和x²分母異號，列出不等式組，求出k的范圍．
（2）要使曲線是為焦點在y軸上的橢圓，方程中y²的分母1-k大于x²分母|k|，且都大于0，列出不等式組，求出k的范圍．

解答：解：（1）曲線為雙曲線?|k|（1-k）＜0
?

k(1-k)＜0 k＞0

或

-k(1-k)＜0 k＜0

?k＞1．即k的取值范圍是（1，+∞）．
（2）曲線為焦點在y軸上的橢圓?

|k|＜(1-k) |k|＞0

?

k＜(1-k) k＞0

或

-k＜1-k k＜0

?k＜0或0＜k＜

1

2

．
故答案為：（1，+∞），(-∞，0)∪(0，

1

2

)．

點評：解決橢圓的方程，注意焦點的位置在哪個坐標軸上，方程中哪個字母的分母就大．本題還考查了雙曲線的標準方程．屬基礎題．