Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，
（1）若當且僅當x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有一個負根，求a取值的集合；
（3）若f（x）滿足條件：

f(2)≤12 f(-1)≤3

求f（1）的取值范圍；
（4）若0≤b≤4，0≤c≤4，且b，c∈Z，記函數(shù)f（x）滿足條件（2）的事件為A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）當且僅當x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，即已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c的頂點坐標為（-2，-2），代入即可解得b、c的值
（2）方程f（x）=x+a即方程x²+3x-a=0，至少有一個負根即有兩個負根或有一個正根和一個負根或有一個零根和一個負根，分別討論a的取值范圍，最后求并集即可
（3）

f(2)≤12 f(-1)≤3

即

2b+c-8≤0 b-c+2≥0

，f（1）=b+c+1，利用待定系數(shù)法，可得b+c+1=

2

3

(2b+c-8)-

1

3

(b-c+2)+7，由同向不等式相加性即可得f（1）的取值范圍
（4）b有5個數(shù)可選，c也有5個數(shù)可選，故事件發(fā)生的總數(shù)為5×5=25種可能，利用列舉法可得事件A的基本數(shù)為16，由古典概型概率公式可得事件A發(fā)生的概率

解答：解：（1）∵當且僅當x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，
∴二次函數(shù)f（x））=x²+bx+c 的對稱軸是x=-2
且有f（-2）=4-2b+c=-2，即2b-c=6，∴b=4，c=2
∴f（x））=x²+4x+2
（2）方程f（x）=x+a至少有一個負根，即方程x²+3x-a=0至少有一個負根
第一種：兩個負根
∴

△=9-4(2-a)≥0 2-a＞0

⇒

a≥- 1 4 a＜2

⇒-

1

4

≤a＜2
第二種：一個正根和一個負根
2-a＜0⇒a＞2
第三種：一個零根和一個負根
2-a=0⇒a=2
綜上可知：當方程f（x）=x+a（a∈R）至少有一個負根時，符合題意的實數(shù)a取值的集合為{a|a≥-

1

4

}                  
（3）由

f(2)≤12 f(-1)≤3

得

2b+c-8≤0 b-c+2≥0

而f（1）=b+c+1
設(shè)b+c+1=x（2b+c-8）+y（b-c+2）+z，得

x= 2 3 y=- 1 3 z=7

即得f（1）=b+c+1=

2

3

(2b+c-8)-

1

3

(b-c+2)+7，
∴可求得f（1）≤7，等號成立的條件是b=2．c=4．                
（4）事件發(fā)生的總數(shù)為5×5=25種可能，事件A的基本數(shù)為（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0）共16種，故所求事件A發(fā)生的概率為

16

25

點評：本題綜合考察了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次方程根的分布，待定系數(shù)法求代數(shù)式的范圍及古典概型的概率計算，題目綜合性強，解題時要具有較強的綜合能力和運算能力