Question

已知函數，其中為常數，且.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調遞減區間；

（2）若函數在區間上的最小值為，求的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求，由導數的幾何意義知曲線在點處的切線斜率為，帶入導函數中求得，令，解不等式并和定義域求交集，得函數單調遞減區間；（2）令，得，討論與定義域的位置關系，當在定義域外或區間端點時，函數在給定的定義域內單調，利用單調性求最小值；當是定義域的內點時，將定義域分段，并分別判斷單調性，判斷函數大致圖象，從而確定函數最小值，列方程求．

試題解析： （） 2分

（1）因為曲線在點（1，）處的切線與直線垂直，，

所以，即解得 4分

當時，，。

令，解得所以函數的遞減區間為： 6分

（2）當時，在（1，3）上恒成立，這時在[1，3]上為增函數

令 ，得（舍去） 7分

當時，由得，

對于有在上為減函數，

對于有在上為增函數，

，令，得 9分

當時，在（1，3）上恒成立，這時在上為減函數，

∴.令 得 （舍去）

綜上， 12分

考點：1、導數在單調性上的應用；2、利用導數求函數的最值.