Question

（2013•湖南模擬）大學生自主創業已成為當代潮流．長江學院大三學生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金，全部用作批發某種商品，銀行貸款的年利率為6%，約定一年    后一次還清貸款，已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要    交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，余款作為資金全    部投入批發該商品再經營，如此繼續，假定每月月底該商品能全部賣出．
（1）設夏某第n個月月底余a_n元，第n+l個月月底余a_n+1元，寫出a₁的值并建立a_n+1與a_n的遞推關系；
（2）預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入．
（參考數據：1.12¹¹≈3.48，1.12¹²≈3.90，0.12¹¹≈7.43×10^-11，0.12¹²≈8.92×10^-12）

Answer 1

分析：（1）根據夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，可求a₁的值并建立a_n+1與a_n的遞推關系；
（2）構造{a_n-12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數列，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意a₁=20000（1+15%）-20000×15%×20%-1500=20900（元）…（2分）
a_n+1=a_n（1+15%）-a_n×15%×20%-1500=1.12a_n-1500（n∈N₊，1≤n≤11）…（6分）
（2）令a_n+1+λ=1.12（a_n+λ），則a_n+1=1.12a_n+0.12λ，
∵a_n+1=1.12a_n-1500，∴對比得λ=-12500…（8分）
∴a_n+1-12500=1.12（a_n-12500），
∴{a_n-12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數列
∴a_n-12500=（20900-12500）×1.12^n-1，即a_n=8400×1.12^n-1+12500
∴a₁₂=8400×1.12¹¹+12500≈41732（元）       …（11分）
又年底償還銀行本利總計20000（1+6%）=21200（元）…（12分）
故該生還清銀行貸款后純收入41732-21200=20532（元）  …（13分）

點評：本題考查數列的應用，解題時要注意認真審題，本題解題的關鍵是構造{a_n-12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數列．